Zobrazenie zdroja stránky Číselné sústavy

== Číselné sústavy ==
Delíme ich na :
* polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme                rozvinúť do mocninového radu
* nepolyadické (nepozičné)číselné sústavy NČS. Napr.: rímska číselná sústava (IX, X, XIV)

=== Pozičné číselné sústavy (PČS) ===

Hodnotu celého nezáporného čísla  <math>N_z</math> vyjadríme v tvare polynómu:

<math>N_z = \sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i</math>, 

kde 
*<math>\ z</math> je  základ pozičnej sústavy,   <math>\ z \ge  2  (2, 8,{\color{red} 10}, 16)</math>

*<math>\ a_i</math> číslice <math>\ 0\le a_i < z</math> 
**ak <math>\ z</math> je prirodzené číslo, potom <math>\ a_{i}= 0,\ 1,\  ...,\  z-1</math>
**Poloha číslice určuje '''rád číslice''', ktorý je definovaný '''váhou''' <math>\ v_i\  =\ z^{i}</math>
* <math>\ {n-1} </math> je rád sústavy.
Ak potrebujeme zapisáť racionálne číslo (väčšina) použijeme záporné mocniny až do rádu <math>k</math>
<math>N_z = \sum_{i=-k}^{n-1} a_i z^i</math>

Bežne používame skrátený zápis '''racionálneho čísla''' <math>N_z = \pm a_{n-1},a_{n-
2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k} </math>

'''Poznámka:'''
''Rozšírenie na záporné čísla použitím znamienka mínus (-) pred číslom a používanie desatinnej čiarky je vhodné pre ľudí. V žiadnom prípade to nie je vhodný zápis pre počítač.''

Pre:  

<math>\ z=2</math>  získame dvojkovú - binárnu číselnú sústavu (0, 1)

<math>\ z=8</math> získame osmičkovú - oktálovú číselnú sústavu (0,1,2,...,7)

<math>\ z=10</math> získame desiatkovú - dekadickú číselnú sústavu (0,1,2,...,9)

<math>\ z=16</math> získame šesťnástkovú - hexadecimálnu číselnú sústavu (0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F). Slovo ''hexadecimálny'' pochádza z gréckeho (''hexi'' - šesť) a latinského (''decem'' - desať).

 [[Obrázok:AP_Tab_001.jpg|thumb|250px|left]]











=== Vlastnosti PČS: ===
<math>N_z = \pm a_{n-1},a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}</math>
# '''Maximálne zobraziteľné číslo:''' <math>\ N_{max} = z^{n} -z^{-k}</math>
*pre celé čísla: <math>\ N_{max} = z^{n} -1</math>
*pre desatinné čísla: <math>\ N_{max} = 1-z^{-k}</math>
# Minimálne číslo v absolútnej hodnote rôzne od nuly: <math>\ N_{min} = z^{-k}</math>
# Krok diskrétnosti: <math>\ h = z^{-k}</math>
# Kapacita číselnej sústavy pre m-rádové čísla:<math>K=z^{m} =z^{n+k}</math> Pr.: z = 10, m = 3,  '''K = 1000'''  možných čísiel (0..999) 
# Počet zobrazujúcich rádov:<math>\ m = log_{z}(K+1)</math>.
# Desetinná čiarka, bodka si vo všetkých číselných sústavách odpovedá. Samostatne môžeme prevádzať  obe časti(celu i zlomkovú).

Napríklad dekadické číslo <math>\ 2345,37_{10}</math> môžeme rozpísať do tvaru

<math>\ 2345,37_{10}= 2.10^3+3.10^2 +4.10^1+5.10^0+3.10^{-1}+7.10^{-2}</math>
hodnoty číslic sú
<math>\ [2]_3 = 2000, [3]_2 = 300,[4]_1 = 40, [3]_{-1} = 0,3, [7]_{-2} = 0,07</math>.

=== Zobrazenie informácií  v počítači ===
Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''') v pozičnej číselnej sústave. Napr.: 
<math>\ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2  + 3.10^1  + 4.10^0 </math>


Moderné počítače vnútorne pracujú s binárnymi číslami=dvojkovými(číslice 0 a 1). 
Napr.: 

<math>\  0_{2} =         0.2^0 = 0_{10} </math>,

<math>\  1_{2} =         1.2^0 = 1_{10} </math>,

<math>\ 10_{2} = 1.2^1 + 0.2^0 = 2_{10} </math>,

<math>\ 11_{2} = 1.2^1 + 1.2^0 = 3_{10} </math>,

=== Pozičné číselné sústavy – prevody ===

'''Prevod z desiatkovej sústavy do číselnej sústavy so základom <math>\ z</math>''' :

Prevod sa vykonáva zvlášť: 
*pre celočíselnú časť čísla a 
*zvlášť predesatinnú časť čísla 

'''Prevod celočíselného dekadického čísla do sústavy so základom <math>\ z</math> :''' 

Metóda je založená na postupnom celočíselnom delení dekadického 
'''<math>\ N</math>''', číslom '''<math>\ z</math>''',. Celočíselné delenie:

<math>\frac{M}{z}=M+R</math>,

Kde: <math>\ N</math> - delenec,  <math>\ z</math> - deliteľ , <math>\ M</math> – podiel a <math>\ R</math> - zvyšok,  sú celé čísla. 

<math>\ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}</math>

<math>(N_1)_z=\frac{(N)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-2}+a_{n-2}z^{n-3}+...+a_{1}, \quad ((N)_z\ %\ z)=a_{0}, \quad  (N)_z(mod\ z)=a_{0}</math>

<math>(N_2)_z=\frac{(N_1)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-3}+a_{n-2}z^{n-4}+...+a_{2}, \quad  ((N_1)_z\ %\ z)=a_{1}</math>.


Príklad: Prevod do 8-ovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_dec_okt.jpg]]


Príklad: Prevod do 16-ovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_dec_hex.jpg]]


Príklad: Prevod do binárnej sústay:

[[Obrázok:Prev_dec_bin.jpg]]







'''Prevod z číselnej sústavy so základom <math>\ z</math> do desiatkovej sústavy  :''' 
Vychádza zo vzťahu pre hodnotu čísla vyjadreného v danom základe číselnej sústavy ( zápis hodnoty je formálne zhodný zo zápisom čísla v dekadickej sústave)
<math>\ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}</math> 

alebo

<math>\ (N)_z=((((a_{n-1}z+a_{n-2})z+a_{n-3})z+...)z+a_{1})z+a_{0}</math>

Pr. : Preveďme binárne číslo 1010111 do dekadickej sústavy

'''Prvý spôsob''':

<math>\ (1010111)_2=1*2^6\ +\ 0*2^5\ +\ 1*2^4\ +\ 0*2^3\ +\ 1*2^2\ +\ 1*2^1\ +\ 1*2^0\ =\ 1*64\ +\ 0*32\ +\  1*16\ +\  0*8\ +\  1*4\ +\  1*2\ +\  1*1\ =\ 87_{10}</math>

'''Druhý spôsob''':

[[Obrázok:AP_Prevody_005.jpg]]

Pr.: Prevod čísla <math>\ (6437)_8</math> do dekadickej sústavy: 

[[Obrázok:Prev_okt_dec.jpg]]

== Prevod z číselnej sústavy so základom <math>\ z</math> do číselnej sústavy so základom <math>\ w</math> : ==

Pri prevode zo sústavy so základom <math>\ z</math> do číselnej sústavy so základom <math>\ w</math> sa všeobecne používa schéma 

<math>\ N_z\ =\ (N_1)_{10}\ =\ (N_2)_{10}</math>

Výnimkou sú prevody medzi sústavami pri základe <math>\ z\ =\ 2^n</math>


Prevod z binárnej sústavy do oktálnej alebo hexadecimálnej sa vykoná tak, že sa binárne znaky rozdelia „odzadu“ na trojíc alebo štvoríc, a skupiny sa kódujú osobitne:


Prevod binárneho čísla <math>011\  0100\  0111_2</math> do osmičkovej (oktálnej) sústavy:

{|
| rozdelíme na trojice binárnych číslic:  || <math>011\ |010 |000\ |111</math>
|-
| vytvoríme kódy oktálnych číslic:        || <math>\ 1\ |5\ |0\ |7\ </math>
|-
| zapíšeme výsledok:                      || <math>011\  0100\  0111_2\ = (1507)_8</math>
|}


Prevod binárneho čísla <math>011\  0100\  0111_2</math> do hexadecimálnej sústavy:
*rozdelíme na štvorice binárnych číslic: <math>0011\ |0100\ |0111</math>
*vytvoríme kódy hexadecimálnych číslic:<math>\ 3\ |4\ |7\ </math>
*zapíšeme výsledok:<math>011\  0100\  0111_2\ = (347)_{16}</math>

== Nepozičné číselné sústavy: ==

V nepozičných číselných sústavách vždy neplatí:  <math>[a_i]_i = (a_i)z^i</math>.


Rímska číselná sústava (najznámejšia nepolyadická sústava). 
Skladá sa zo 7 symbolov: '''I V X L C D M'''. 

'''I''' = 1, '''V''' = 5, '''X''' = 10, '''L''' = 50, '''C''' = 100, '''D''' = 500, '''M''' = 1000.

Zápis: Sprava doľava. Výnimka: Ak zapíšeme číslice '''I''', '''X''', '''C'''  pred väčšiu číslicu, potom menšiu  od väčšej odčítame.

Napr: '''MMXMIV''' = 1000 + 1000 + (1000 - 10) + (5 - 1) = 2994  

Číslice '''V''', '''L''', '''D''' môžu byť zapísané len raz a číslice '''I''', '''X''', '''C''' najviac trikrát za sebou. '''M''' sa môže  opakovať ľubovoľne krát.

Príklad: Číslo <math>(250)_{10}</math> zobrazené v rímskej číselnej sústave je zapísané ako číslo '''CCXV''', kde jednotlivé znaky odpovedajú hodnotám <math>[(C)]_3 = 100, [(C)]_2 = 100,[(X)]_1 = 10, [(V)]_0 = 5</math>.



[[Category:Základy počítačov]]