Číselné sústavy

Číselné sústavy

Delíme ich na :

• polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme rozvinúť do mocninového radu
• nepolyadické (nepozičné)číselné sústavy NČS. Napr.: rímska číselná sústava (IX, X, XIV)

Pozičné číselné sústavy (PČS)

Hodnotu celého nezáporného čísla $N_{z}$ vyjadríme v tvare polynómu:

$N_{z}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}$,

kde

• $\ z$ je základ pozičnej sústavy, $\ z\geq 2(2,8,{\color {red}10},16)$

• $\ a_{i}$ číslice $\ 0\leq a_{i}<z$
  • ak $\ z$ je prirodzené číslo, potom $\ a_{i}=0,\ 1,\ ...,\ z-1$
  • Poloha číslice určuje rád číslice, ktorý je definovaný váhou $\ v_{i}\ =\ z^{i}$
• $\ {n-1}$ je rád sústavy.

Ak potrebujeme zapisáť racionálne číslo (väčšina) použijeme záporné mocniny až do rádu $k$ $N_{z}=\sum _{i=-k}^{n-1}a_{i}z^{i}$

Bežne používame skrátený zápis racionálneho čísla $N_{z}=\pm a_{n-1},a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}$

Poznámka: Rozšírenie na záporné čísla použitím znamienka mínus (-) pred číslom a používanie desatinnej čiarky je vhodné pre ľudí. V žiadnom prípade to nie je vhodný zápis pre počítač.

Pre:

$\ z=2$ získame dvojkovú - binárnu číselnú sústavu (0, 1)

$\ z=8$ získame osmičkovú - oktálovú číselnú sústavu (0,1,2,...,7)

$\ z=10$ získame desiatkovú - dekadickú číselnú sústavu (0,1,2,...,9)

$\ z=16$ získame šesťnástkovú - hexadecimálnu číselnú sústavu (0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F). Slovo hexadecimálny pochádza z gréckeho (hexi - šesť) a latinského (decem - desať).

Vlastnosti PČS:

$N_{z}=\pm a_{n-1},a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}$

1. Maximálne zobraziteľné číslo: $\ N_{max}=z^{n}-z^{-k}$

• pre celé čísla: $\ N_{max}=z^{n}-1$
• pre desatinné čísla: $\ N_{max}=1-z^{-k}$

1. Minimálne číslo v absolútnej hodnote rôzne od nuly: $\ N_{min}=z^{-k}$
2. Krok diskrétnosti: $\ h=z^{-k}$
3. Kapacita číselnej sústavy pre m-rádové čísla:$K=z^{m}=z^{n+k}$ Pr.: z = 10, m = 3, K = 1000 možných čísiel (0..999)
4. Počet zobrazujúcich rádov:$\ m=log_{z}(K+1)$.
5. Desetinná čiarka, bodka si vo všetkých číselných sústavách odpovedá. Samostatne môžeme prevádzať obe časti(celu i zlomkovú).

Napríklad dekadické číslo $\ 2345,37_{10}$ môžeme rozpísať do tvaru

$\ 2345,37_{10}=2.10^{3}+3.10^{2}+4.10^{1}+5.10^{0}+3.10^{-1}+7.10^{-2}$ hodnoty číslic sú $\ [2]_{3}=2000,[3]_{2}=300,[4]_{1}=40,[3]_{-1}=0,3,[7]_{-2}=0,07$.

Zobrazenie informácií v počítači

Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) v pozičnej číselnej sústave. Napr.: $\ 1234=1.10^{3}+2.10^{2}+3.10^{1}+4.10^{0}$

Moderné počítače vnútorne pracujú s binárnymi číslami=dvojkovými(číslice 0 a 1). Napr.:

$\ 0_{2}=0.2^{0}=0_{10}$,

$\ 1_{2}=1.2^{0}=1_{10}$,

$\ 10_{2}=1.2^{1}+0.2^{0}=2_{10}$,

$\ 11_{2}=1.2^{1}+1.2^{0}=3_{10}$,

Pozičné číselné sústavy – prevody

Prevod z desiatkovej sústavy do číselnej sústavy so základom $\ z$ :

Prevod sa vykonáva zvlášť:

• pre celočíselnú časť čísla a
• zvlášť predesatinnú časť čísla

Prevod celočíselného dekadického čísla do sústavy so základom $\ z$ :

Metóda je založená na postupnom celočíselnom delení dekadického $\ N$, číslom $\ z$,. Celočíselné delenie:

${\frac {M}{z}}=M+R$,

Kde: $\ N$ - delenec, $\ z$ - deliteľ , $\ M$ – podiel a $\ R$ - zvyšok, sú celé čísla.

$\ (N)_{z}=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}$

$(N_{1})_{z}={\frac {(N)_{z}}{z}}=a_{n-1}z^{n-2}+a_{n-2}z^{n-3}+...+a_{1},\quad ((N)_{z}\ \%\ z)=a_{0},\quad (N)_{z}(mod\ z)=a_{0}$

$(N_{2})_{z}={\frac {(N_{1})_{z}}{z}}=a_{n-1}z^{n-3}+a_{n-2}z^{n-4}+...+a_{2},\quad ((N_{1})_{z}\ \%\ z)=a_{1}$.

Príklad: Prevod do 8-ovej sústavy:

Príklad: Prevod do 16-ovej sústavy:

Príklad: Prevod do binárnej sústay:

Prevod z číselnej sústavy so základom $\ z$ do desiatkovej sústavy  : Vychádza zo vzťahu pre hodnotu čísla vyjadreného v danom základe číselnej sústavy ( zápis hodnoty je formálne zhodný zo zápisom čísla v dekadickej sústave) $\ (N)_{z}=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}$

alebo

$\ (N)_{z}=((((a_{n-1}z+a_{n-2})z+a_{n-3})z+...)z+a_{1})z+a_{0}$

Pr. : Preveďme binárne číslo 1010111 do dekadickej sústavy

Prvý spôsob:

$\ (1010111)_{2}=1*2^{6}\ +\ 0*2^{5}\ +\ 1*2^{4}\ +\ 0*2^{3}\ +\ 1*2^{2}\ +\ 1*2^{1}\ +\ 1*2^{0}\ =\ 1*64\ +\ 0*32\ +\ 1*16\ +\ 0*8\ +\ 1*4\ +\ 1*2\ +\ 1*1\ =\ 87_{10}$

Druhý spôsob:

Pr.: Prevod čísla $\ (6437)_{8}$ do dekadickej sústavy:

Prevod z číselnej sústavy so základom $\ z$ do číselnej sústavy so základom $\ w$ :

Pri prevode zo sústavy so základom $\ z$ do číselnej sústavy so základom $\ w$ sa všeobecne používa schéma

$\ N_{z}\ =\ (N_{1})_{10}\ =\ (N_{2})_{10}$

Výnimkou sú prevody medzi sústavami pri základe $\ z\ =\ 2^{n}$

Prevod z binárnej sústavy do oktálnej alebo hexadecimálnej sa vykoná tak, že sa binárne znaky rozdelia „odzadu“ na trojíc alebo štvoríc, a skupiny sa kódujú osobitne:

Prevod binárneho čísla $011\ 0100\ 0111_{2}$ do osmičkovej (oktálnej) sústavy:

rozdelíme na trojice binárnych číslic:	$011\ |010|000\ |111$
vytvoríme kódy oktálnych číslic:	$\ 1\ |5\ |0\ |7\$
zapíšeme výsledok:	$011\ 0100\ 0111_{2}\ =(1507)_{8}$

Prevod binárneho čísla $011\ 0100\ 0111_{2}$ do hexadecimálnej sústavy:

• rozdelíme na štvorice binárnych číslic: $0011\ |0100\ |0111$
• vytvoríme kódy hexadecimálnych číslic:$\ 3\ |4\ |7\$
• zapíšeme výsledok:$011\ 0100\ 0111_{2}\ =(347)_{16}$

Nepozičné číselné sústavy:

V nepozičných číselných sústavách vždy neplatí: $[a_{i}]_{i}=(a_{i})z^{i}$.

Rímska číselná sústava (najznámejšia nepolyadická sústava). Skladá sa zo 7 symbolov: I V X L C D M.

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Zápis: Sprava doľava. Výnimka: Ak zapíšeme číslice I, X, C pred väčšiu číslicu, potom menšiu od väčšej odčítame.

Napr: MMXMIV = 1000 + 1000 + (1000 - 10) + (5 - 1) = 2994

Číslice V, L, D môžu byť zapísané len raz a číslice I, X, C najviac trikrát za sebou. M sa môže opakovať ľubovoľne krát.

Príklad: Číslo $(250)_{10}$ zobrazené v rímskej číselnej sústave je zapísané ako číslo CCXV, kde jednotlivé znaky odpovedajú hodnotám $[(C)]_{3}=100,[(C)]_{2}=100,[(X)]_{1}=10,[(V)]_{0}=5$.