Generátor harmonického signálu
Zo stránky SensorWiki
Záverečný projekt predmetu MIPS / LS2026 - Oleksandr Mykyta
Zadanie
Úlohou bolo generovať harmonický signál bez použitia funkcií sin() alebo cos(). Na tento účel bol použitý oscilátor realizovaný ako prenosová funkcia:
H(s) = 1 / ((s · T)^2 + 1)
Zároveň bolo potrebné zmerať jeden bod frekvenčnej charakteristiky systému:
H(s) = 1 / (s · T + 1)
pre frekvenciu ω = 1 / T, kde T = 0,5 s.
Výstupný signál má mať tvar:
A₀ + A₁ · sin(ωt + φ)
kde: A₀ = 128 A₁ = 100
Analýza a opis riešenia
Cieľom riešenia je vytvoriť sínusový signál bez použitia matematických funkcií sin() alebo cos(). Tento problém sa rieši pomocou diskrétneho oscilátora, ktorý vychádza z diferenciálnej rovnice harmonického kmitania.
Základom je rovnica:
y + ω²y = 0
Táto rovnica popisuje harmonické kmity (napr. pružina) a jej riešením sú funkcie sin() a cos(). To znamená, že ak vieme túto rovnicu numericky riešiť, vieme generovať sínus.
Teoretický základ a odvodenia
Laplaceova transformacia
Vychadzajme z prenosovej funkcie systému:
H(s) = Y(s) / X(s) = 1 / (T · s + 1)
Po úprave:
Y(s) · (T · s + 1) = X(s) T · s · Y(s) + Y(s) = X(s)
Použitím inverznej Laplaceovej transformacie (kde s predstavuje deriváciu) dostaneme:
T · dy(t)/dt + y(t) = x(t)
Týmto získame diferenciálnu rovnicu systému v časovej oblasti.
Diskretizácia
Mikrokontrolér pracuje v diskrétnom čase, preto je potrebné nahradiť derivácie rozdielmi medzi vzorkami.
Pre druhú deriváciu použijeme aproximáciu:
y ≈ (y[n] − 2y[n−1] + y[n−2]) / T_s²
Po dosadení do (y + ω²y = 0):
y[n] = (2 / (1 + ω²T_s²)) · y[n−1] − (1 / (1 + ω²T_s²)) · y[n−2]
Táto rovnica predstavuje numerickú aproximáciu oscilátora, ale nie je ideálna z hľadiska stability amplitúdy.
Diskrétny oscilátor (presný model)
Presnejší prístup vychádza z trigonometrických identít:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B)
Po sčítaní:
sin(A + B) + sin(A − B) = 2 · sin(A) · cos(B)
Dosadením:
A = (n−1)θ B = θ
dostaneme:
sin(nθ) + sin((n−2)θ) = 2 · cos(θ) · sin((n−1)θ)
Označením:
y[n] = sin(nθ)
vznikne rekurentný vzťah:
y[n] = 2 · cos(θ) · y[n−1] − y[n−2]
Tento vzťah generuje stabilný sínusový signál bez zmeny amplitúdy.
Výpočet parametrov
Platí:
θ = ω · T_s
kde: T = 0,5 s ω = 1 / T = 2 rad/s SAMPLE_RATE = 1000 Hz → T_s = 0,001 s
θ = 0,002
Aproximacia cos()
Keďže nie je dovolené použiť funkciu cos(), použije sa Taylorov rozvoj:
cos(θ) ≈ 1 − θ²/2
Pre malé θ je táto aproximacia dostatočne presná.
Z toho:
2cos(θ) ≈ 2 · (1 − θ²/2)
Inicializácia oscilátora
Pre správnu činnosť oscilátora sú potrebné počiatočné hodnoty:
y1 = 1 y2 = 1 − θ²/2
Tieto hodnoty zabezpečia vznik sínusového priebehu.
Generovanie signálu
Oscilátor generuje hodnoty v rozsahu ⟨−1, 1⟩.
Požadovaný výstup:
x = A0 + A1 · y
kde: A0 = 128 A1 = 100
Tým sa signál posunie do kladného rozsahu vhodného pre PWM.
Diskretizacia systému 1 / (sT + 1)
Zo spojitej rovnice:
T · dy/dt + y = x
Použitím Eulerovej metódy:
dy/dt ≈ (y[n] − y[n−1]) / T_s
Po úprave:
y[n] = x − (T / T_s) · y[n] − (T / T_s) · y[n−1] y[n] · (1 + (T / T_s)) = x − (T / T_s) · y[n−1] y[n] = (T_s / (T + T_s)) · x + (T / (T + T_s)) · y[n−1]
Po zavedení:
α = T_s / (T + T_s)
dostaneme praktický tvar:
y[n] = α · x + (1 − α) · y[n−1] y[n] = y[n−1] + α · (x − y[n−1])
Algoritmus a program
Algoritmus programu využíva diskrétny oscilátor a numerickú aproximáciu systému 1 / (sT + 1). Základné výpočty prebiehajú v prerušení Timer1 s frekvenciou 1 kHz:
- výpočet oscilátora
- generovanie vstupu x
- výpočet výstupu systému
- výstup cez PWM
- odosielanie dát cez UART
#define F_CPU 16000000UL
#include <avr/io.h>
#include <avr/interrupt.h>
#include <stdio.h>
#include "uart.h"
#define SAMPLE_RATE 1000.0
#define T 0.5
#define A0 128
#define A1 100
float OSC_COEFF;
volatile float y = 0;
volatile float y1 = 0;
volatile float y2 = 0;
volatile float y_sys = 0;
float alpha;
FILE mystdout = FDEV_SETUP_STREAM(uart_putc, NULL, _FDEV_SETUP_WRITE);
ISR(TIMER1_COMPA_vect)
{
y = OSC_COEFF * y1 - y2;
y2 = y1;
y1 = y;
float x = A0 + A1 * y;
y_sys = y_sys + alpha * (x - y_sys);
OCR0A = (uint8_t)(y_sys);
printf("%d,%d\n", (int)x, (int)y_sys);
}
void timer1_init()
{
TCCR1B |= (1 << WGM12);
OCR1A = 15999;
TCCR1B |= (1 << CS10);
TIMSK1 |= (1 << OCIE1A);
}
void pwm_init()
{
DDRD |= (1 << PD6);
TCCR0A |= (1 << COM0A1) | (1 << WGM01) | (1 << WGM00);
TCCR0B |= (1 << CS01);
}
int main(void)
{
uart_init();
stdout = &mystdout;
pwm_init();
timer1_init();
float Ts = 1.0 / SAMPLE_RATE;
alpha = Ts / (T + Ts);
float theta = (1.0 / T) * (1.0 / SAMPLE_RATE);
y1 = 1.0;
y2 = 1.0 - (theta * theta) / 2.0;
OSC_COEFF = 2.0 * (1.0 - (theta * theta) / 2.0);
sei();
while (1)
{
}
}
#define set_bit(ADDRESS,BIT) (ADDRESS |= (1<<BIT))
#define clear_bit(ADDRESS,BIT) (ADDRESS &= ~(1<<BIT))
#ifndef UART_H_
#define UART_H_
#include <stdio.h>
#define BAUD_PRESCALE (((F_CPU / (BAUDRATE * 16UL))) - 1)
void uart_init( void );
int uart_putc( char c, FILE *stream );
void uart_puts( const char *s );
char uart_getc( void );
void delay(int delay);
#endif /* UART_H_ */
#include <avr/io.h>
#include <util/delay.h>
#include "uart.h"
void uart_init( void )
{
#include <util/setbaud.h>
UBRR0H = UBRRH_VALUE;
UBRR0L = UBRRL_VALUE;
#if USE_2X
UCSR0A |= (1 << U2X0);
#else
UCSR0A &= ~(1 << U2X0);
#endif
UCSR0C = _BV(UCSZ01) | _BV(UCSZ00);
UCSR0B = _BV(RXEN0) | _BV(TXEN0);
}
int uart_putc(char c, FILE *stream)
{
if (c == '\n')
{
loop_until_bit_is_set(UCSR0A, UDRE0);
UDR0 = '\r';
}
loop_until_bit_is_set(UCSR0A, UDRE0);
UDR0 = c;
return 0;
}
void uart_puts(const char *s)
{
}
char uart_getc(void)
{
loop_until_bit_is_set(UCSR0A, RXC0);
return UDR0;
}
void delay(int delay)
{
for (int i=1; i<=delay; i++)
_delay_ms(1);
}
Overenie
Funkcia systému bola overená pomocou výpisu dát cez UART. Do sériového portu sa posielajú dvojice hodnôt:
x, y_sys
Tieto hodnoty je možné zobraziť napríklad pomocou Serial Plotteru, kde je viditeľný vstupný sínusový signál a výstup systému.
Zo signálov je možné pozorovať zmenu amplitúdy a fázový posun, čo predstavuje bod frekvenčnej charakteristiky systému.
Čo by som urobil inak
Pri riešení by bolo možné použiť presnejšiu metódu diskretizacie systému 1 / (sT + 1), napríklad bilineárnu transformaciu, ktorá by zlepšila presnosť modelu.
Taktiež by bolo možné implementovať presnejší výpočet cos(θ) bez aproximacie, napríklad pomocou lookup tabuľky.
Ďalším zlepšením by mohlo byť automatické vyhodnotenie amplitúdy a fázového posunu priamo v mikrokontroleri namiesto spracovania na PC.