Generátor harmonického signálu

Záverečný projekt predmetu MIPS / LS2026 - Oleksandr Mykyta

Zadanie

Úlohou bolo generovať harmonický signál bez použitia funkcií sin() alebo cos(). Na tento účel bol použitý oscilátor realizovaný ako prenosová funkcia:

H(s) = 1 / ((s · T)^2 + 1)

Zároveň bolo potrebné zmerať jeden bod frekvenčnej charakteristiky systému:

H(s) = 1 / (s · T + 1)

pre frekvenciu: ω = 1 / T, kde T = 0.5 s.

Výstupný signál má mať tvar:

A₀ + A₁ · sin(ωt + φ)

kde: A₀ = 128, A₁ = 100.

Analýza a opis riešenia

Cieľom riešenia je vytvoriť sínusový signál bez použitia matematických funkcií sin() alebo cos(). Tento problém sa rieši pomocou diskrétneho oscilátora, ktorý vychádza z diferenciálnej rovnice harmonického kmitania.

Základom je rovnica:

y'' + ω²y = 0

Táto rovnica popisuje harmonické kmity a jej riešením sú funkcie sin() a cos(). To znamená, že ak vieme túto rovnicu numericky riešiť, vieme generovať sínus.

Teoretický základ a odvodenia

Laplaceova transformacia

Vychadzajme z prenosovej funkcie systému:

H(s) = Y(s) / X(s) = 1 / (T · s + 1)

Po úprave:

Y(s) · (T · s + 1) = X(s)
T · s · Y(s) + Y(s) = X(s)

Použitím inverznej Laplaceovej transformacie (kde s predstavuje deriváciu) dostaneme:

T · dy(t)/dt + y(t) = x(t)

Týmto získame diferenciálnu rovnicu systému v časovej oblasti.

Diskretizácia

Mikrokontrolér pracuje v diskrétnom čase, preto je potrebné nahradiť derivácie rozdielmi medzi vzorkami.

Pre druhú deriváciu použijeme aproximáciu:

y'' ≈ (y[n] − 2y[n−1] + y[n−2]) / T_s²

Po dosadení do y + ω²y = 0:

y[n] = (2 / (1 + ω²T_s²)) · y[n−1] − (1 / (1 + ω²T_s²)) · y[n−2]

Táto rovnica predstavuje numerickú aproximáciu oscilátora, ale nie je ideálna z hľadiska stability amplitúdy.

Diskrétny oscilátor (presný model)

Presnejší prístup vychádza z trigonometrických identít:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B)

Po sčítaní:

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 · sin(A) · cos(B)

Dosadením:

A = (n−1)θ B = θ

dostaneme:

sin(nθ) + sin((n−2)θ) = 2 · cos(θ) · sin((n−1)θ)

Označením:

y[n] = sin(nθ)

vznikne rekurentný vzťah:

y[n] = 2 · cos(θ) · y[n−1] − y[n−2]

Tento vzťah generuje stabilný sínusový signál bez zmeny amplitúdy.

Výpočet parametrov

Platí:

θ = ω · T_s

kde:

T = 0.5 s ω = 1 / T = 2 rad/s SAMPLE_RATE = 1000 Hz T_s = 0.001 s

θ = 0.002

Aproximacia cos()

Keďže nie je dovolené použiť funkciu cos(), použije sa Taylorov rozvoj:

cos(θ) ≈ 1 − θ²/2

Z toho:

2cos(θ) ≈ 2 · (1 − θ²/2)

Inicializácia oscilátora

Pre správnu činnosť oscilátora sú potrebné počiatočné hodnoty:

y1 = 1 y2 = 1 − θ²/2

Generovanie signálu

Oscilátor generuje hodnoty v rozsahu:

[-1, 1]

Požadovaný výstup:

x = A0 + A1 · y

kde:

A0 = 128 A1 = 100

Diskretizacia systému 1 / (sT + 1)

Zo spojitej rovnice:

T · dy/dt + y = x

Použitím Eulerovej metódy:

dy/dt ≈ (y[n] − y[n−1]) / T_s

Po úprave:

y[n] = x − (T / T_s) · y[n] − (T / T_s) · y[n−1]
y[n] · (1 + (T / T_s)) = x − (T / T_s) · y[n−1]
y[n] = (T_s / (T + T_s)) · x + (T / (T + T_s)) · y[n−1]

Po zavedení:

α = T_s / (T + T_s)

dostaneme praktický tvar:

y[n] = α · x + (1 − α) · y[n−1]
y[n] = y[n−1] + α · (x − y[n−1])

Algoritmus a program

Algoritmus programu využíva diskrétny oscilátor a numerickú aproximáciu systému 1 / (sT + 1). Základné výpočty prebiehajú v prerušení Timer1 s frekvenciou:

1 kHz

• výpočet oscilátora
• generovanie vstupu x
• výpočet výstupu systému
• výstup cez PWM
• odosielanie dát cez UART

Overenie

Funkcia systému bola overená pomocou výpisu dát cez UART. Do sériového portu sa posielajú dvojice hodnôt:

x, y_sys

Tieto hodnoty je možné zobraziť napríklad pomocou Serial Plotteru, kde je viditeľný vstupný sínusový signál a výstup systému.

Zo signálov je možné pozorovať zmenu amplitúdy a fázový posun, čo predstavuje bod frekvenčnej charakteristiky systému.

Čo by som urobil inak

Pri riešení by bolo možné použiť presnejšiu metódu diskretizacie systému 1 / (sT + 1), napríklad bilineárnu transformaciu, ktorá by zlepšila presnosť modelu.

Taktiež by bolo možné implementovať presnejší výpočet cos(θ) bez aproximacie, napríklad pomocou lookup tabuľky.

Ďalším zlepšením by mohlo byť automatické vyhodnotenie amplitúdy a fázového posunu priamo v mikrokontroleri namiesto spracovania na PC.