Číselné sústavy - História úprav

Balogh: /* Prevod desatinnej časti dekadického čísla do sústavy so základom \ z : */

2017-09-19T09:59:36Z

Prevod desatinnej časti dekadického čísla do sústavy so základom \ z :

@@ Riadok 174: / Riadok 174: @@
 *vytvoríme kódy hexadecimálnych číslic:<math>\ 3\ |4\ |7\ </math>
 *zapíšeme výsledok:<math>011\  0100\  0111_2\ = (347)_{16}</math>
 == Nepozičné číselné sústavy: ==

Balogh: /* ?? Zobrazenie informácií v počítači ?? */

2017-09-19T09:58:48Z

?? Zobrazenie informácií v počítači ??

← Staršia verzia		Verzia z 09:58, 19. september 2017
Riadok 65:		Riadok 65:
	<math>\ [2]_3 = 2000, [3]_2 = 300,[4]_1 = 40, [3]_{-1} = 0,3, [7]_{-2} = 0,07</math>.		<math>\ [2]_3 = 2000, [3]_2 = 300,[4]_1 = 40, [3]_{-1} = 0,3, [7]_{-2} = 0,07</math>.

	===?? Zobrazenie informácií v počítači ??===		=== Zobrazenie informácií v počítači ===
	Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''') v pozičnej číselnej sústave. Napr.:		Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''') v pozičnej číselnej sústave. Napr.:
	<math>\ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2 + 3.10^1 + 4.10^0 </math>		<math>\ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2 + 3.10^1 + 4.10^0 </math>

Balogh na 11:39, 14. september 2017

2017-09-14T11:39:49Z

@@ Riadok 47: / Riadok 47: @@
 === Vlastnosti PČS: ===
@@ Riadok 85: / Riadok 68: @@
 Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''') v pozičnej číselnej sústave. Napr.:
 <math>\ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2  + 3.10^1  + 4.10^0 </math>
 Moderné počítače vnútorne pracujú s binárnymi číslami=dvojkovými(číslice 0 a 1).
 Napr.:
@@ Riadok 97: / Riadok 82: @@
 === Pozičné číselné sústavy – prevody ===
-'''Prevod z desiatovej sústavy do číselnej sústavy so základom <math>\ z</math>''' :
 Prevod sa vykonáva zvlášť:
@@ Riadok 139: / Riadok 125: @@
 '''Prevod z číselnej sústavy so základom <math>\ z</math> do desiatkovej sústavy  :'''
 Vychádza zo vzťahu pre hodnotu čísla vyjadreného v danom základe číselnej sústavy ( zápis hodnoty je formálne zhodný zo zápisom čísla v dekadickej sústave)

Balogh: Vytvorená stránka „== Číselné sústavy == Delíme ich na : * polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme rozvinúť do mocninového radu * nepolyadi…“

2017-09-14T11:29:57Z

Vytvorená stránka „== Číselné sústavy == Delíme ich na : * polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme rozvinúť do mocninového radu * nepolyadi…“

Nová stránka

== Číselné sústavy ==
Delíme ich na :
* polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme rozvinúť do mocninového radu
* nepolyadické (nepozičné)číselné sústavy NČS. Napr.: rímska číselná sústava (IX, X, XIV)

=== Pozičné číselné sústavy (PČS) ===

Hodnotu celého nezáporného čísla <math>N_z</math> vyjadríme v tvare polynómu:

<math>N_z = \sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i</math>,

kde
*<math>\ z</math> je základ pozičnej sústavy, <math>\ z \ge 2 (2, 8,{\color{red} 10}, 16)</math>

*<math>\ a_i</math> číslice <math>\ 0\le a_i < z</math>
**ak <math>\ z</math> je prirodzené číslo, potom <math>\ a_{i}= 0,\ 1,\ ...,\ z-1</math>
**Poloha číslice určuje '''rád číslice''', ktorý je definovaný '''váhou''' <math>\ v_i\ =\ z^{i}</math>
* <math>\ {n-1} </math> je rád sústavy.
Ak potrebujeme zapisáť racionálne číslo (väčšina) použijeme záporné mocniny až do rádu <math>k</math>
<math>N_z = \sum_{i=-k}^{n-1} a_i z^i</math>

Bežne používame skrátený zápis '''racionálneho čísla''' <math>N_z = \pm a_{n-1},a_{n-
2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k} </math>

'''Poznámka:'''
''Rozšírenie na záporné čísla použitím znamienka mínus (-) pred číslom a používanie desatinnej čiarky je vhodné pre ľudí. V žiadnom prípade to nie je vhodný zápis pre počítač.''

Pre:

<math>\ z=2</math> získame dvojkovú - binárnu číselnú sústavu (0, 1)

<math>\ z=8</math> získame osmičkovú - oktálovú číselnú sústavu (0,1,2,...,7)

<math>\ z=10</math> získame desiatkovú - dekadickú číselnú sústavu (0,1,2,...,9)

<math>\ z=16</math> získame šesťnástkovú - hexadecimálnu číselnú sústavu (0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F). Slovo ''hexadecimálny'' pochádza z gréckeho (''hexi'' - šesť) a latinského (''decem'' - desať).

[[Obrázok:AP_Tab_001.jpg|thumb|250px|left]]

n

=== Vlastnosti PČS: ===
<math>N_z = \pm a_{n-1},a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}</math>
# '''Maximálne zobraziteľné číslo:''' <math>\ N_{max} = z^{n} -z^{-k}</math>
*pre celé čísla: <math>\ N_{max} = z^{n} -1</math>
*pre desatinné čísla: <math>\ N_{max} = 1-z^{-k}</math>
# Minimálne číslo v absolútnej hodnote rôzne od nuly: <math>\ N_{min} = z^{-k}</math>
# Krok diskrétnosti: <math>\ h = z^{-k}</math>
# Kapacita číselnej sústavy pre m-rádové čísla:<math>K=z^{m} =z^{n+k}</math> Pr.: z = 10, m = 3, '''K = 1000''' možných čísiel (0..999)
# Počet zobrazujúcich rádov:<math>\ m = log_{z}(K+1)</math>.
# Desetinná čiarka, bodka si vo všetkých číselných sústavách odpovedá. Samostatne môžeme prevádzať obe časti(celu i zlomkovú).

Napríklad dekadické číslo <math>\ 2345,37_{10}</math> môžeme rozpísať do tvaru

<math>\ 2345,37_{10}= 2.10^3+3.10^2 +4.10^1+5.10^0+3.10^{-1}+7.10^{-2}</math>
hodnoty číslic sú
<math>\ [2]_3 = 2000, [3]_2 = 300,[4]_1 = 40, [3]_{-1} = 0,3, [7]_{-2} = 0,07</math>.

===?? Zobrazenie informácií v počítači ??===
Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''', '''7''', '''8''', '''9''') v pozičnej číselnej sústave. Napr.:
<math>\ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2 + 3.10^1 + 4.10^0 </math>
Moderné počítače vnútorne pracujú s binárnymi číslami=dvojkovými(číslice 0 a 1).
Napr.:

<math>\ 0_{2} = 0.2^0 = 0_{10} </math>,

<math>\ 1_{2} = 1.2^0 = 1_{10} </math>,

<math>\ 10_{2} = 1.2^1 + 0.2^0 = 2_{10} </math>,

<math>\ 11_{2} = 1.2^1 + 1.2^0 = 3_{10} </math>,

=== Pozičné číselné sústavy – prevody ===
'''Prevod z desiatovej sústavy do číselnej sústavy so základom <math>\ z</math>''' :

Prevod sa vykonáva zvlášť:
*pre celočíselnú časť čísla a
*zvlášť predesatinnú časť čísla

'''Prevod celočíselného dekadického čísla do sústavy so základom <math>\ z</math> :'''

Metóda je založená na postupnom celočíselnom delení dekadického
'''<math>\ N</math>''', číslom '''<math>\ z</math>''',. Celočíselné delenie:

<math>\frac{M}{z}=M+R</math>,

Kde: <math>\ N</math> - delenec, <math>\ z</math> - deliteľ , <math>\ M</math> – podiel a <math>\ R</math> - zvyšok, sú celé čísla.

<math>\ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}</math>

<math>(N_1)_z=\frac{(N)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-2}+a_{n-2}z^{n-3}+...+a_{1}, \quad ((N)_z\ %\ z)=a_{0}, \quad (N)_z(mod\ z)=a_{0}</math>

<math>(N_2)_z=\frac{(N_1)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-3}+a_{n-2}z^{n-4}+...+a_{2}, \quad ((N_1)_z\ %\ z)=a_{1}</math>.

Príklad: Prevod do 8-ovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_dec_okt.jpg]]

Príklad: Prevod do 16-ovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_dec_hex.jpg]]

Príklad: Prevod do binárnej sústay:

[[Obrázok:Prev_dec_bin.jpg]]

x
'''Prevod z číselnej sústavy so základom <math>\ z</math> do desiatkovej sústavy :'''
Vychádza zo vzťahu pre hodnotu čísla vyjadreného v danom základe číselnej sústavy ( zápis hodnoty je formálne zhodný zo zápisom čísla v dekadickej sústave)
<math>\ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}</math>

alebo

<math>\ (N)_z=((((a_{n-1}z+a_{n-2})z+a_{n-3})z+...)z+a_{1})z+a_{0}</math>

Pr. : Preveďme binárne číslo 1010111 do dekadickej sústavy

'''Prvý spôsob''':

<math>\ (1010111)_2=1*2^6\ +\ 0*2^5\ +\ 1*2^4\ +\ 0*2^3\ +\ 1*2^2\ +\ 1*2^1\ +\ 1*2^0\ =\ 1*64\ +\ 0*32\ +\ 1*16\ +\ 0*8\ +\ 1*4\ +\ 1*2\ +\ 1*1\ =\ 87_{10}</math>

'''Druhý spôsob''':

[[Obrázok:AP_Prevody_005.jpg]]

Pr.: Prevod čísla <math>\ (6437)_8</math> do dekadickej sústavy:

[[Obrázok:Prev_okt_dec.jpg]]

== Prevod z číselnej sústavy so základom <math>\ z</math> do číselnej sústavy so základom <math>\ w</math> : ==

Pri prevode zo sústavy so základom <math>\ z</math> do číselnej sústavy so základom <math>\ w</math> sa všeobecne používa schéma

<math>\ N_z\ =\ (N_1)_{10}\ =\ (N_2)_{10}</math>

Výnimkou sú prevody medzi sústavami pri základe <math>\ z\ =\ 2^n</math>

Prevod z binárnej sústavy do oktálnej alebo hexadecimálnej sa vykoná tak, že sa binárne znaky rozdelia „odzadu“ na trojíc alebo štvoríc, a skupiny sa kódujú osobitne:

Prevod binárneho čísla <math>011\ 0100\ 0111_2</math> do osmičkovej (oktálnej) sústavy:

{|
| rozdelíme na trojice binárnych číslic: || <math>011\ |010 |000\ |111</math>
|-
| vytvoríme kódy oktálnych číslic: || <math>\ 1\ |5\ |0\ |7\ </math>
|-
| zapíšeme výsledok: || <math>011\ 0100\ 0111_2\ = (1507)_8</math>
|}

Prevod binárneho čísla <math>011\ 0100\ 0111_2</math> do hexadecimálnej sústavy:
*rozdelíme na štvorice binárnych číslic: <math>0011\ |0100\ |0111</math>
*vytvoríme kódy hexadecimálnych číslic:<math>\ 3\ |4\ |7\ </math>
*zapíšeme výsledok:<math>011\ 0100\ 0111_2\ = (347)_{16}</math>

== Prevod desatinnej časti dekadického čísla do sústavy so základom <math>\ z</math> : ==

Metóda je založená na postupnom násobení desatinnej časti dekadického <math>\ N</math> číslom <math>\ z</math>.

<math>D*z\ =\ M\ +\ D</math>

kde:<math>|D|<\ 1,\qquad |D_1|<\ 1</math> a <math>\ M</math> je celé číslo.

<math>(N)_z\ =\ a_{-1}z^{-1}\ +\ a_{-2}z^{-2}+\ ...\ +\ a_{-k}z^{-k}</math>

<math>(N)_z*z\ =\ a_{-1}\ +\ (N_1)_z \qquad |(N)_z|< 1</math>

kde: <math>\ a_{-1}</math> je celé číslo a <math>(N_1)_z\ <\ 1</math>

<math>(N_1)_z*z\ =\ a_{-2}\ +\ (N_2)_z </math>

kde: <math>\ a_{-2}</math> je celé číslo a <math>(N_2)_z\ <\ 1</math>, atď.

Príklady:

Pr.:1. Preveďme číslo <math>\ 0,12_{10}</math> do osmičkovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_db_dec_okt.jpg]]

Pr.:2. Preveďme číslo <math>\ 0,6875_{10}</math> do dvojkovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_db_dec_bin.jpg]]

Pr.:3. Preveďme číslo <math>\ 0,1_{10}</math> do dvojkovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_db1_dec_bin.jpg]]

Číslo <math>\ 0,1_{10}</math> sa nedá vyjadriť konečným počtom binárnych číslic !!

== Nepozičné číselné sústavy: ==

V nepozičných číselných sústavách vždy neplatí: <math>[a_i]_i = (a_i)z^i</math>.

Rímska číselná sústava (najznámejšia nepolyadická sústava).
Skladá sa zo 7 symbolov: '''I V X L C D M'''.

'''I''' = 1, '''V''' = 5, '''X''' = 10, '''L''' = 50, '''C''' = 100, '''D''' = 500, '''M''' = 1000.

Zápis: Sprava doľava. Výnimka: Ak zapíšeme číslice '''I''', '''X''', '''C''' pred väčšiu číslicu, potom menšiu od väčšej odčítame.

Napr: '''MMXMIV''' = 1000 + 1000 + (1000 - 10) + (5 - 1) = 2994

Číslice '''V''', '''L''', '''D''' môžu byť zapísané len raz a číslice '''I''', '''X''', '''C''' najviac trikrát za sebou. '''M''' sa môže opakovať ľubovoľne krát.

Príklad: Číslo <math>(250)_{10}</math> zobrazené v rímskej číselnej sústave je zapísané ako číslo '''CCXV''', kde jednotlivé znaky odpovedajú hodnotám <math>[(C)]_3 = 100, [(C)]_2 = 100,[(X)]_1 = 10, [(V)]_0 = 5</math>.

[[Category:Základy počítačov]]