Zobrazenie zdroja stránky Zobrazenie čísel v počítači

* Záporné čísla
* Racionálne čísla
* Reálne čísla
* Strojové epsilon
* Počítačová nula

== Zobrazenie v pevnej rádovej čiarke ==

Číslo v pevnej rádovej čiarke zapisujeme ako postupnosť dvojkových číslic, pričom prvý bit spravidla určuje znamienko a ostatné sú platné 
číslice reprezentovaného čísla. Umiestnenie desatinnej čiarky (vzhľadom na to, že ide o číslo kódované v pevnej rádovej čiarke) je vopred 
určené a nemenné. Zvyčajne sa umiestňuje medzi prvý (znamienkový) a druhý bit.

Pevné miesto rádovej čiarky má tú výhodu, že ju možno zo zobrazenia vynechať. Z toho dôvodu má číslo napríklad 11010101 číselne vyjadrenie 
–0,1010101, pričom znak mínus predstavuje jednotka na prvom mieste a desatinnú časť číslice od druhej pozície. 
<!-- Informácia o tom, že ide o „nula celá“, nemusí byť nikde uvedená, pretože desatinnú čiarku sme umiestnili dohodou na pozíciu 
za znamienkový bit. Toto umiestnenie má za následok, že číslo, ktoré zobrazujeme, nemôže byť väčšie ako jednotka (resp. menšie ako –1).     -->


Prevod desatinného dvojkového čísla na desiatkové:

 110101<sub>2</sub> = 1 × 2<sup>-1</sup> + 1 × 2<sup>-2</sup> + 0×2<sup>-3</sup> + 1×2<sup>-4</sup> + 0×2<sup>-5</sup> + 1×2<sup>-6</sup> =
 
 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 + 0 + 0,015625 = 0,828125<sub>10</sub>

Obmedzený počet bitov určuje, že v počítači nemôžeme zobraziť číslo s ľubovoľnou presnosťou. Najmenšie kladné zobraziteľné číslo je číslo 
obsahujúce samé nuly, okrem poslednej pozície, ktorá je 1 (0000...001). Čísla menšie ako minimálne zobraziteľné označujeme ako strojovú 
nulu – nedokážeme ich vyjadriť a počítame s nimi ako s hodnotou 0. Pri zobrazovaní čísel, ktorých desatinná časť tvorí viac ako vyhradený 
počet číslic, sa zanedbávajú najnižšie rády čísla a tým je obmedzená presnosť výpočtu.

== Prevod desatinnej časti dekadického čísla do sústavy so základom <math>\ z</math> : ==

Metóda je založená na postupnom násobení desatinnej časti dekadického <math>\ N</math> číslom <math>\ z</math>.

<math>D*z\ =\ M\ +\ D</math>

kde:<math>|D|<\ 1,\qquad  |D_1|<\ 1</math> a <math>\ M</math> je celé číslo.

<math>(N)_z\ =\ a_{-1}z^{-1}\ +\ a_{-2}z^{-2}+\ ...\ +\ a_{-k}z^{-k}</math>

<math>(N)_z*z\ =\ a_{-1}\ +\ (N_1)_z \qquad |(N)_z|< 1</math>

kde: <math>\ a_{-1}</math> je celé číslo a <math>(N_1)_z\ <\ 1</math>

<math>(N_1)_z*z\ =\ a_{-2}\ +\ (N_2)_z </math>

kde: <math>\ a_{-2}</math> je celé číslo a <math>(N_2)_z\ <\ 1</math>, atď.


'''Príklad 1:''' Preveďte číslo ''0,6875''<sub>10</sub> do dvojkovej sústavy:

<!-- [[Obrázok:Prev_db_dec_bin.jpg]] -->


 0,6875 x 2 = '''1''',3750
 0,3750 x 2 = '''0''',7500
 0,7500 x 2 = '''1''',5000
 0,5000 x 2 = '''1''',0000
 0,0000 x 2 = '''0''',0000  koniec
    
   '''0,6875'''<sub>10</sub> = '''0,1011'''<sub>2</sub>


'''Príklad 2:''' Preveďte číslo <math>\ 0,1_{10}</math> do dvojkovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_db1_dec_bin.jpg]]

Číslo <math>\ 0,1_{10}</math> sa nedá vyjadriť konečným počtom binárnych číslic !!


'''Príklad 3:''' Preveďte číslo <math>\ 0,12_{10}</math> do osmičkovej sústavy:

[[Obrázok:Prev_db_dec_okt.jpg]]


<quiz shuffleanswers=true display=simple>

{Preveďte <math>0,1011_{BIN}</math> do desiatkovej sústavy (v slovenčine používame desatinnú čiarku, nie bodku!):
|type="{}"}
{ 0,6875 }

{Preveďte <math>0,65625_{DEC}</math> do dvojkovej sústavy:
|type="{}"}
{ 0,10101 }

{Preveďte <math>3,14_{DEC}</math> do dvojkovej sústavy na 4 desatinné miesta:
|type="{}"}
{ 11,0010 }

{Aká je chyba prevodu v predošlom príklade? Preveďte výsledok predošlého príkladu späť do desiatkovej sústavy a určte rozdiel medzi pôvodným a prevedeným číslom.
|type="{}"}
{ 0,015 }

</quiz>

== Zobrazenie v pohyblivej rádovej čiarke ==

Je to vhodný spôsob reprezentácie čísel, ktoré sú na vyjadrenie v pevnej rádovej čiarke príliš malé, alebo príliš veľké. 
Čísla sa ukladá ako určité množstvo platných číslic (mantisa) vynásobený exponentom. Základom exponentu býva väčšinou 2, 10 alebo 16.
Čísla, ktoré vieme v pohyblivej rádovej čiarke vyjadriť presne, sú zapísané v tvare:

    mantisa × základ<sup>exponent</sup>

Postupne sa časom používalo niekoľko rôznych systémov reprezentácie čísel v počítaťi, ale napokon takmer všetci používajú 
reprezentáciu definovanu v norme IEEE 754.


Na cvičení nebudeme pracovať s pomerne komplikovaným systémom IEEE 754 ale pre porozumenie si spravíme svoj vlastný, menej
presný. 

'''Úloha:''' 
 Najprv vypočítajte a potom nakreslite všetky prvky počítačovej množiny s pohyblivou rádovou čiarkou F(2,2,-4,3). 
 Nakreslite celú množinu a potom ešte zvlášť interval <-1,1>. V tejto úlohe odovzdávate cvičiacemu dva obrázky!

'''Definícia:''' F(2,n,E<sub>min</sub>,E<sub>max</sub>) znamená, že čísla sú v dvojkovej sústave, mantisa má dĺžku ''n'' bitov 
a rozsah exponentov je od E<sub>min</sub> po E<sub>max</sub>. Mantisa je normalizovaná s jednotkou pred desatinnou čiarkou.





== Ako je to teda s mantisou a exponentom? ==


Prvý bit (pozri obr.) je znamienko mantisy. 0 je plus a 1 mínus. 

   [[Súbor:float2.gif|center]]

Mantisa je v normalizovaná, t.j. v tvare 1,mmmmmmm teda hodnoty mantisy budú z binárnych intervalov
<-1.11,-1.00><SUB>2</SUB> a <1.00,1.11><SUB>2</SUB>,
t.j. <-1.75,-1.00><SUB>10</SUB> a <1.00,1.75><SUB>10</SUB>. 
Nezabudnite, že prvá 1 sa do počítača neukladá, ušetrí sa tak bit.


Exponent je v rozsahnu <-4,3>, viac na vyriešenie úlohy nepotrebujete
vedieť. Ak vás zaujíma ako je to zakódované, potom na rozsah <-4,3> potrebujeme
tri bity.  Exponent nie je v doplnkovom kóde, ale je posunutý. Najlepšie
asi ozrejmí nasledovná tabuľka.

        kód    číslo   exponent
        000      0       -4
        001      1       -3
        010      2       -2
        011      3       -1
        100      4        0
        101      5        1
        110      6        2
        111      7        3


Ako vidno, v takomto zápise čísel v pohyblivej rádovej čiarke nám 
chýba NULA. Preto sa treba dohodnúť, ktoré číslo bude reprezentovať
nulu. Pre riešenie našej úlohy nulu nepotrebujeme. Ak by sme napodobnili
formát IEEE 754, potom ak exponent je nula, tak toto číslo sa nazýva 
nula. Ak je exponent zo samých jednotiek, potom je to buď plus, alebo 
mínus nekonečno, prípadne symbol NaN (Not A Number - nie je číslo).


 
'''Ako je to naozaj vo formáte IEEE 754'''

Mantisa je v IEEE formáte reprezentovaná v tvare znamienko (signum)
a číslo (magnitude). Navyše sa predpokladá, že mantisa je vždy normalizovaná
v tvare 1.mmmmm... Tá jednotka je tam vždy, preto ju ani neukladáme do 
pamäti. Rozsah hodnôt mantisy sa pohybuje v intervaloch (-2,-1&gt; a &lt;1,2). 


Exponenty sa vo formáte IEEE 754 vyjadrujú v tzv. posunutej (biased)
podobe, takže od binárnej reprezentácie exponentu sa odpočíta konštanta
(bias, offset) 127 (resp. 1023 pre 64 bitov double).


Výhoda posunutého exponentu je, že samé nuly sú najmenší exponent a takéto
číslo je vybraté za symbol NULA. Aj druhý hraničný exponent (samé jednotky) má
v IEEE 754 formáte špeciálny význam -- takéto číslo je buď kladné, alebo 
záporné nekonečno, prípadne tzv. NaN (Not a Number).
Tieto špeciálne čísla sú popísané podrobne v tabuľke na konci [http://babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754references.html tohoto článku].



[[Category: Základy počítačov]]