Číselné sústavy

Z SensorWiki
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Číselné sústavy

Delíme ich na :

  • polyadické (pozičné) číselné sústavy PČS, ktoré môžeme rozvinúť do mocninového radu
  • nepolyadické (nepozičné)číselné sústavy NČS. Napr.: rímska číselná sústava (IX, X, XIV)

Pozičné číselné sústavy (PČS)

Hodnotu celého nezáporného čísla N_z vyjadríme v tvare polynómu:

N_z = \sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i,

kde

  • \ z je základ pozičnej sústavy, \ z \ge  2  (2, 8,{\color{red} 10}, 16)
  • \ a_i číslice \ 0\le a_i < z
    • ak \ z je prirodzené číslo, potom \ a_{i}= 0,\ 1,\  ...,\  z-1
    • Poloha číslice určuje rád číslice, ktorý je definovaný váhou \ v_i\  =\ z^{i}
  • \ {n-1} je rád sústavy.

Ak potrebujeme zapisáť racionálne číslo (väčšina) použijeme záporné mocniny až do rádu k N_z = \sum_{i=-k}^{n-1} a_i z^i

Bežne používame skrátený zápis racionálneho čísla N_z = \pm a_{n-1},a_{n-
2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}

Poznámka: Rozšírenie na záporné čísla použitím znamienka mínus (-) pred číslom a používanie desatinnej čiarky je vhodné pre ľudí. V žiadnom prípade to nie je vhodný zápis pre počítač.

Pre:

\ z=2 získame dvojkovú - binárnu číselnú sústavu (0, 1)

\ z=8 získame osmičkovú - oktálovú číselnú sústavu (0,1,2,...,7)

\ z=10 získame desiatkovú - dekadickú číselnú sústavu (0,1,2,...,9)

\ z=16 získame šesťnástkovú - hexadecimálnu číselnú sústavu (0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F). Slovo hexadecimálny pochádza z gréckeho (hexi - šesť) a latinského (decem - desať).

AP Tab 001.jpg






Vlastnosti PČS:

N_z = \pm a_{n-1},a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-k}

  1. Maximálne zobraziteľné číslo: \ N_{max} = z^{n} -z^{-k}
  • pre celé čísla: \ N_{max} = z^{n} -1
  • pre desatinné čísla: \ N_{max} = 1-z^{-k}
  1. Minimálne číslo v absolútnej hodnote rôzne od nuly: \ N_{min} = z^{-k}
  2. Krok diskrétnosti: \ h = z^{-k}
  3. Kapacita číselnej sústavy pre m-rádové čísla:K=z^{m} =z^{n+k} Pr.: z = 10, m = 3, K = 1000 možných čísiel (0..999)
  4. Počet zobrazujúcich rádov:\ m = log_{z}(K+1).
  5. Desetinná čiarka, bodka si vo všetkých číselných sústavách odpovedá. Samostatne môžeme prevádzať obe časti(celu i zlomkovú).

Napríklad dekadické číslo \ 2345,37_{10} môžeme rozpísať do tvaru

\ 2345,37_{10}= 2.10^3+3.10^2 +4.10^1+5.10^0+3.10^{-1}+7.10^{-2} hodnoty číslic sú \ [2]_3 = 2000, [3]_2 = 300,[4]_1 = 40, [3]_{-1} = 0,3, [7]_{-2} = 0,07.

Zobrazenie informácií v počítači

Počítanie a počítače sú úzko prepojené s číslami a číselnými sústavami. V bežnom živote používame dekadické čísla (číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) v pozičnej číselnej sústave. Napr.: \ 1234 = 1.10^3 + 2.10^2  + 3.10^1  + 4.10^0


Moderné počítače vnútorne pracujú s binárnymi číslami=dvojkovými(číslice 0 a 1). Napr.:

\  0_{2} =         0.2^0 = 0_{10} ,

\  1_{2} =         1.2^0 = 1_{10} ,

\ 10_{2} = 1.2^1 + 0.2^0 = 2_{10} ,

\ 11_{2} = 1.2^1 + 1.2^0 = 3_{10} ,

Pozičné číselné sústavy – prevody

Prevod z desiatkovej sústavy do číselnej sústavy so základom \ z :

Prevod sa vykonáva zvlášť:

  • pre celočíselnú časť čísla a
  • zvlášť predesatinnú časť čísla

Prevod celočíselného dekadického čísla do sústavy so základom \ z :

Metóda je založená na postupnom celočíselnom delení dekadického \ N, číslom \ z,. Celočíselné delenie:

\frac{M}{z}=M+R,

Kde: \ N - delenec, \ z - deliteľ , \ M – podiel a \ R - zvyšok, sú celé čísla.

\ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}

(N_1)_z=\frac{(N)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-2}+a_{n-2}z^{n-3}+...+a_{1}, \quad ((N)_z\ %\ z)=a_{0}, \quad  (N)_z(mod\ z)=a_{0}

(N_2)_z=\frac{(N_1)_z}{z} =a_{n-1}z^{n-3}+a_{n-2}z^{n-4}+...+a_{2}, \quad  ((N_1)_z\ %\ z)=a_{1}.


Príklad: Prevod do 8-ovej sústavy:

Prev dec okt.jpg


Príklad: Prevod do 16-ovej sústavy:

Prev dec hex.jpg


Príklad: Prevod do binárnej sústay:

Prev dec bin.jpg




Prevod z číselnej sústavy so základom \ z do desiatkovej sústavy  : Vychádza zo vzťahu pre hodnotu čísla vyjadreného v danom základe číselnej sústavy ( zápis hodnoty je formálne zhodný zo zápisom čísla v dekadickej sústave) \ (N)_z=a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0}

alebo

\ (N)_z=((((a_{n-1}z+a_{n-2})z+a_{n-3})z+...)z+a_{1})z+a_{0}

Pr. : Preveďme binárne číslo 1010111 do dekadickej sústavy

Prvý spôsob:

\ (1010111)_2=1*2^6\ +\ 0*2^5\ +\ 1*2^4\ +\ 0*2^3\ +\ 1*2^2\ +\ 1*2^1\ +\ 1*2^0\ =\ 1*64\ +\ 0*32\ +\  1*16\ +\  0*8\ +\  1*4\ +\  1*2\ +\  1*1\ =\ 87_{10}

Druhý spôsob:

AP Prevody 005.jpg

Pr.: Prevod čísla \ (6437)_8 do dekadickej sústavy:

Prev okt dec.jpg

Prevod z číselnej sústavy so základom \ z do číselnej sústavy so základom \ w :

Pri prevode zo sústavy so základom \ z do číselnej sústavy so základom \ w sa všeobecne používa schéma

\ N_z\ =\ (N_1)_{10}\ =\ (N_2)_{10}

Výnimkou sú prevody medzi sústavami pri základe \ z\ =\ 2^n


Prevod z binárnej sústavy do oktálnej alebo hexadecimálnej sa vykoná tak, že sa binárne znaky rozdelia „odzadu“ na trojíc alebo štvoríc, a skupiny sa kódujú osobitne:


Prevod binárneho čísla 011\  0100\  0111_2 do osmičkovej (oktálnej) sústavy:

rozdelíme na trojice binárnych číslic: 011\ |010 |000\ |111
vytvoríme kódy oktálnych číslic: \ 1\ |5\ |0\ |7\
zapíšeme výsledok: 011\  0100\  0111_2\ = (1507)_8


Prevod binárneho čísla 011\  0100\  0111_2 do hexadecimálnej sústavy:

  • rozdelíme na štvorice binárnych číslic: 0011\ |0100\ |0111
  • vytvoríme kódy hexadecimálnych číslic:\ 3\ |4\ |7\
  • zapíšeme výsledok:011\  0100\  0111_2\ = (347)_{16}

Nepozičné číselné sústavy:

V nepozičných číselných sústavách vždy neplatí: [a_i]_i = (a_i)z^i.


Rímska číselná sústava (najznámejšia nepolyadická sústava). Skladá sa zo 7 symbolov: I V X L C D M.

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Zápis: Sprava doľava. Výnimka: Ak zapíšeme číslice I, X, C pred väčšiu číslicu, potom menšiu od väčšej odčítame.

Napr: MMXMIV = 1000 + 1000 + (1000 - 10) + (5 - 1) = 2994

Číslice V, L, D môžu byť zapísané len raz a číslice I, X, C najviac trikrát za sebou. M sa môže opakovať ľubovoľne krát.

Príklad: Číslo (250)_{10} zobrazené v rímskej číselnej sústave je zapísané ako číslo CCXV, kde jednotlivé znaky odpovedajú hodnotám [(C)]_3 = 100, [(C)]_2 = 100,[(X)]_1 = 10, [(V)]_0 = 5.